→ חזרה לעץ הנושאים exp-01

שלב 1: מכירים

היכרות עם הגדרת הפונקציה המעריכית והתכונות הבסיסיות המשותפות לכל הפונקציות מהסוג הזה.

הגדרת הפונקציה המעריכית

פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה:

$$f(x) = a^x$$

כאשר $a > 0$ וגם $a \neq 1$.

  • מדוע $a>0$? אם הבסיס שלילי, עבור חלק מערכי $x$ (למשל $x=\tfrac{1}{2}$) הביטוי אינו מוגדר במספרים ממשיים — לדוגמה $(-4)^{0.5}=\sqrt{-4}$.
  • מדוע $a \neq 1$? אם $a=1$, מתקבל $f(x)=1^x=1$ לכל $x$ — זו פונקציה קבועה, ואינה נחשבת לפונקציה מעריכית.

גדילה ליניארית מול גדילה מעריכית

בגדילה ליניארית מוסיפים בכל שלב את אותה כמות קבועה. בגדילה מעריכית מכפילים בכל שלב באותו גורם קבוע — ולכן קצב הגדילה עצמו הולך וגדל.

גדילה ליניארית (תוספת קבועה של 2)

1 → 3 → 5 → 7 → 9

גדילה מעריכית (הכפלה פי 2 — התחלקות תאים)

1 → 2 → 4 → 8 → 16

ארבע תכונות ליבה משותפות לכל הפונקציות המעריכיות

1

תחום הגדרה

הפונקציה מוגדרת לכל $x$ ממשי.

2

תחום חיוביות

$f(x) > 0$ לכל $x$ — הגרף תמיד מעל ציר ה-$x$, לעולם אינו מתאפס ואינו שלילי.

3

חיתוך ציר $y$

הגרף תמיד עובר דרך הנקודה $(0,1)$, כי $a^0=1$ לכל $a$.

4

אסימפטוטה אופקית

הישר $y=0$ (ציר ה-$x$) הוא אסימפטוטה אופקית של הגרף.

המספר $e$

קיים בסיס מיוחד וטבעי הנקרא המספר $e$, כאשר $e \approx 2.718$. הפונקציה $f(x)=e^x$ נקראת "הפונקציה המעריכית הטבעית", ותככב בהמשך הקורס בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי.