מאין הגיע המספר e? נגלה אותו דרך סיפור פשוט של ריבית דריבית.
נניח שמפקידים 1 ₪ בבנק שמציע 100% ריבית שנתית. נבדוק מה קורה כשמחלקים את הריבית לתשלומים תכופים יותר ויותר במהלך השנה, לפי הנוסחה $\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n$ כאשר $n$ הוא מספר החלוקות בשנה:
| חלוקת השנה | הביטוי | ערך מספרי |
|---|---|---|
| פעם אחת בשנה ($n=1$) | $(1+1)^1$ | 2 |
| כל חצי שנה ($n=2$) | $\left(1+\tfrac12\right)^2$ | 2.25 |
| חודשי ($n=12$) | $\left(1+\tfrac{1}{12}\right)^{12}$ | ≈2.613 |
| יומי ($n=365$) | $\left(1+\tfrac{1}{365}\right)^{365}$ | ≈2.7146 |
| רציף ($n \to \infty$) | $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\tfrac1n\right)^n$ | $e \approx 2.71828...$ |
ככל שמחלקים את הריבית לתשלומים תכופים יותר, הסכום הסופי גדל — אך לא בלי גבול! הוא מתייצב ומתקרב יותר ויותר למספר קבוע. המספר הזה הוא $e$.
בדיוק כמו $\pi$, המספר $e \approx 2.71828...$ הוא קבוע מתמטי שאינו ניתן לכתיבה כשבר פשוט, וספרותיו אחרי הנקודה אינן חוזרות על עצמן.
הלוגריתם שבסיסו $e$ נקרא "לוגריתם טבעי" ומסומן $\ln(x)$. הוא יככב בהמשך הקורס בפתרון משוואות מעריכיות.
המספר $e$ מופיע בכל מקום שיש בו גדילה או דעיכה רציפה: ריבית דריבית רציפה, גדילת אוכלוסין, דעיכה רדיואקטיבית ועוד.
שתי מעבדות אינטראקטיביות שיעזרו לכם לגלות את המספר e בעיניים שלכם.
גררו את הסליידר כדי להגדיל את $n$, וצפו כיצד הביטוי $\left(1+\tfrac1n\right)^n$ מתייצב בהדרגה על המספר $e$.
| n | הביטוי | ערך |
|---|
בחרו בסיס, גררו את הנקודה הכתומה לאורך הגרף, והשוו בכל נקודה בין ערך הפונקציה ($y$) לשיפוע המשיק אליה ($m$).
שימו לב: היחס $m/y$ קבוע לאורך כל הגרף, בלתי תלוי במיקום הנקודה — ושווה בדיוק ל-$\ln(a)$.
הקלידו את שמכם המלא כדי להתחיל בתרגול ולקבל תעודת סיום אישית
אנא בחר שם מורה תקין מתוך הרשימה
$$e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n \approx 2.71828$$
ה-$e$ מתקבל כגבול של תהליך ריבית דריבית שמתחלק לפרקי זמן קטנים יותר ויותר.
$f(x)=e^x$ היא הפונקציה היחידה שעבורה בכל נקודה שיפוע המשיק שווה בדיוק לערך הפונקציה עצמה: $m = y$.
לכן, כפי שנלמד בהמשך — הנגזרת של $e^x$ היא $e^x$ עצמה.
מוענקת בגאווה לתלמיד/ה:
תלמיד/ה
לומדה: פלא המספר e ופונקציית האקספוננט
ציון סופי: 0 (0/10)
לא נורא! כדי להרוויח את התעודה, יש לקבל ציון עובר (60 ומעלה). חזרו לתרגל ונסו שוב.