משוואות מעריכיות

שלב 1: מכירים

שלוש שיטות מרכזיות לפתרון משוואות מעריכיות.

$$\begin{aligned}&a^{f(x)} = a^{g(x)}\\&\iff f(x) = g(x)\end{aligned}$$

בתנאי $a>0$ וגם $a\neq1$. משתמשים בחוקי חזקות כדי להביא את שני האגפים לאותו בסיס.

$8^{x+1} = 4^{2x-1} \Rightarrow 2^{3(x+1)}=2^{2(2x-1)}$

וגם: $\dfrac{1}{27} = 3^{-3}$ — הפיכת שבר לחזקה שלילית של אותו בסיס.

$2^x + 2^{x+1} = 24$

מוציאים את $2^x$ כגורם משותף: $2^x(1+2)=24 \Rightarrow 2^x=8 \Rightarrow x=3$.

מלכודת נפוצה: אסור לחבר מעריכים בחיבור של חזקות! $2^x+2^{x+1} \neq 2^{2x+1}$.

למשוואות בעלות "צורה ריבועית", כמו:

$4^{2x} - 4^x - 12 = 0$

מציבים $t=4^x$ ומקבלים $t^2-t-12=0$, פותרים כמשוואה ריבועית רגילה.

דגש קריטי: מכיוון ש-$a^x>0$ תמיד, כל פתרון שלילי של $t$ נפסל! אם $t=-3$, אין לו התאמה ל-$x$.