→ חזרה לעץ הנושאים exp-05

שלב 1: מכירים

עקרון היפוך הסימן — הכלל החשוב ביותר בפתרון אי-שוויונות מעריכיים.

פתרון אלגברי של $a^{f(x)} < a^{g(x)}$

כאשר $a > 1$: הכיוון נשמר

הפונקציה $a^x$ עולה, ולכן:

$$\begin{aligned}&a^{f(x)} < a^{g(x)}\\&\iff f(x) < g(x)\end{aligned}$$

מלכודת הברזל: כאשר $0 < a < 1$ — הכיוון מתהפך!

הפונקציה $a^x$ יורדת, ולכן:

$$\begin{aligned}&a^{f(x)} < a^{g(x)}\\&\iff f(x) > g(x)\end{aligned}$$
$\left(\tfrac14\right)^x < \left(\tfrac14\right)^{6-x} \Rightarrow x > 6-x \Rightarrow x>3$

פתרון גרפי

אי-השוויון $f(x) < g(x)$ שקול למציאת תחומי ה-$x$ שעבורם הגרף של $f(x)$ נמצא מתחת לגרף של $g(x)$.

אי-שוויונות ריבועיים במעריך

כאשר המעריך עצמו הוא ביטוי ריבועי, פותרים תחילה את אי-השוויון על המעריכים (לפי כלל השמירה/היפוך), ואז פותרים את אי-השוויון הריבועי הרגיל:

$2^{x^2} \le 16 \Rightarrow 2^{x^2}\le2^4 \Rightarrow x^2\le4 \Rightarrow -2\le x\le2$