→ חזרה לעץ הנושאים exp-07

שלב 1: מכירים

האם גרף הפונקציה סימטרי? ואיפה הפונקציה חיובית ואיפה שלילית? שני מאפיינים חשובים בחקירת פונקציה.

1

פונקציה זוגית

פונקציה $f$ נקראת זוגית אם לכל $x$ בתחום ההגדרה מתקיים:

$f(-x) = f(x)$

הגרף שלה סימטרי סביב ציר ה-y.

$f(x)=e^{x^2} \Rightarrow f(-x)=e^{(-x)^2}=e^{x^2}=f(x)$ ✓ זוגית
2

פונקציה אי-זוגית

פונקציה $f$ נקראת אי-זוגית אם לכל $x$ בתחום ההגדרה מתקיים:

$f(-x) = -f(x)$

הגרף שלה סימטרי סביב נקודת הראשית.

$f(x)=x \cdot e^{x^2} \Rightarrow f(-x)=(-x)e^{x^2}=-f(x)$ ✓ אי-זוגית
שימו לב: רוב הפונקציות אינן זוגיות ואינן אי-זוגיות! לדוגמה, $f(x)=e^x$: מתקיים $f(-x)=e^{-x}$, וזה לא שווה ל-$f(x)=e^x$ ולא שווה ל-$-f(x)=-e^x$ — לכן $f(x)=e^x$ היא לא זוגית ולא אי-זוגית.

סימן הפונקציה: איפה $f(x)>0$ ואיפה $f(x)<0$?

כאשר $f(x)=a^{g(x)}$ עם $a>0$, הביטוי $a^{g(x)}$ הוא חיובי תמיד (לכל $x$ בתחום ההגדרה), ללא תלות בסימן של $g(x)$.

$f(x) = e^{x^2-4} \; \Rightarrow \; f(x)>0$ לכל $x$ (כי מדובר בביטוי מעריכי טהור)

לעומת זאת, אם יש מכפלה עם ביטוי לא-מעריכי, כמו $f(x)=x\cdot e^{x^2}$, הסימן של $f(x)$ נקבע לפי הסימן של $x$ (כי $e^{x^2}>0$ תמיד): $f(x)>0$ עבור $x>0$, ו-$f(x)<0$ עבור $x<0$.