→ חזרה לעץ הנושאים exp-08

שלב 1: מכירים

מה קורה בקצות הגרף? מתי יש קו ישר שהגרף מתקרב אליו בלי לגעת בו (אסימפטוטה), ומתי יש "חור" בודד בגרף?

1

אסימפטוטה אנכית

כאשר המכנה מתאפס בנקודה מסוימת, אבל המונה אינו מתאפס שם — הגרף "נשאב" לאינסוף באותה נקודה.

$f(x) = \dfrac{1}{e^x-1}$

ב-$x=0$: המכנה מתאפס ($e^0-1=0$) והמונה הוא $1\neq0$ ⇒ יש אסימפטוטה אנכית בקו $x=0$.

2

"חור" בגרף

כאשר גם המונה וגם המכנה מתאפסים באותה נקודה — לאחר פישוט, יכול להיווצר "חור" בודד (נקודה שהפונקציה לא מוגדרת בה, אך הגרף לא בורח לאינסוף).

$f(x) = \dfrac{e^x-1}{e^{2x}-e^{x}}$

ב-$x=0$: גם המונה וגם המכנה מתאפסים ⇒ יש לבדוק היטב אם זו אסימפטוטה או "חור" (לרוב באמצעות פישוט אלגברי של הביטוי).

כלל קריטי לאסימפטוטה אופקית: יש לבדוק את הגבול כאשר $x\to\infty$ וגם כאשר $x\to-\infty$ בנפרד — לא כל פונקציה מתנהגת אותו דבר בשני הקצוות! לדוגמה עבור $f(x)=\dfrac{1}{e^{-x}+1}$: כאשר $x\to\infty$ מתקיים $e^{-x}\to0$ ולכן $f(x)\to1$; אך כאשר $x\to-\infty$ מתקיים $e^{-x}\to\infty$ ולכן $f(x)\to0$. יש כאן שתי אסימפטוטות אופקיות שונות — אחת לכל צד!